МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОДСТАНОВКИ И СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 

Журавлев Виктор Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Ульяновский государственный университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42), E-mail: zhvictorm@gmail.com 

530.182, 53.01, 51-7 

DOI

10.21685/2072-3040-2019-3-7 

Актуальность и цели. В работе строится многофункциональное расширение метода функциональных подстановок для нелинейных уравнений в частных производных. Целью работы является доказательство связи между методом обратной задачи (МОЗ) и методом функциональных подстановок, которые играют важную роль в современной теории нелинейных волновых процессов в различных типах физических систем. Такая связь дает возможность создать эффективный способ вычисления решений уравнений математической физики, интегрируемых с помощью метода обратной задачи.
Материалы и методы. Основным методом, который используется в работе, является метод функциональных подстановок в скалярной и матричной формах. Для установления связи новой формы решений уравнений типа Кортевега – де Вриза и нелинейного уравнения Шредингера используется метод преобразований Дарбу, играющий важную роль в МОЗ.
Результаты. Развит способ расширения метода функциональных подстановок в скалярной и матричной формах, позволяющий получить новые интегрируемые модели теоретической и математической физики вместе с их решениями. Для интегрируемых с помощью МОЗ уравнений на примере уравнений Кортевега – де-Вриза и нелинейного уравнения Шредингера построен новый эффективный способ построения точных решений, эквивалентных новому типу многофункциональных подстановок.
Выводы. Развитый подход дает новый способ построения интегрируемых моделей теоретической и математической физики вместе с их точными решениями. 

Ключевые слова

метод функциональных подстановок, метод обратной задачи, многосолитонные решения, преобразования Дарбу, уравнение Кортевега – де-Вриза 

 Скачать статью в формате PDF

1. Захаров, В. Е. Теория солитонов: метод обратной задачи / В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский. – Москва : Наука, 1980. – 319 c.
2. Додд, Р. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррио. – Москва : Мир, 1988. – 694 с.
3. Matveev, V. B. Some comments on the rational solutions of the Zakharov-Schabat equations / V. B. Matveev // Lett. Math. Phys. – 1979. – Vol. 3, iss. 6. – Р. 216, 222, 425, 503.
4. Matveev, V. B. Darboux Transformations and Solitons / V. B. Matveev, M. A. Salle. – Berlin : Springer-Verlag, 1991. – 120 p.
5. Физика на пороге новых открытий / под. ред. Л. Н. Лабзовского. – Ленинград : Изд-во ЛГУ, 1990. – С. 246–278.
6. Hopf, E. The partial differential equation ut + uux = μuxxut + uux=μuxx / E. Hopf // Comm. Pure and Appl. Math. – 1950. – Vol. 3. – P. 201–230.
7. Cole, J. D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics / J. D. Cole // Quart. Appl. Math. – 1951. – Vol. 9, № 3. – P. 225–236.
8. Burgers, J. M. The Nonlinear Diffusion Equation. Asymptotic Solutions and Statistical Problems / J. M. Burgers. – Reidel ; Dordrecht ; Holland, 1974. – 174 p.
9. Свинолупов, С. И. Об аналогах уравнения Бюргерса произвольного порядка / С. И. Свинолупов // Теоретическая и математическая физика. – 1985. – Т. 65, № 2. – С. 303–307.
10. Ибрагимов, Н. Х . Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов. – Москва : Наука, 1983. – 280 с.
11. Михайлов, А. В. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем / А. В. Михайлов, А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов // Успехи математических наук. – 1987. – Т. 42, № 4 (256). – С. 3–53.
12. Соколов, В. В. О симметриях эволюционных уравнений / В. В. Соколов // Успехи математических наук. – 1988. – Т. 43, № 5(263). – С. 133–163.
13. Свинолупов, С. И. Факторизация эволюционных уравнений / С. И. Свинолупов, В. В. Соколов // Успехи математических наук. – 1992. – Т. 47, № 3 (285). – С. 115–146.
14. Адлер, В. Э. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости / В. Э. Адлер, А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов // Теоретическая и математическая физика. – 2000. – Т. 125, № 3. – С. 355–424.
15. Старцев, С. Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки / С. Я. Старцев // Теоретическая и математическая физика. – 2001. – Vol. 127, № 1. – С. 63–74.
16. Calogero, F. “Why are certain nonlinear PDEs both widely applicable and integrable?”, What is Integrability? / Calogero F. ; ed. V. E. Zhakharov. – Berlin : Springer, 1991. – Р. 1–62. – (Springer Ser. Nonlinear Dynam).
17. Zenchuk, A. I. On the remarkable relations among PDEs integrable by the inverse spectral transform method, by the method of characteristics and by the Hopf–Cole transformation / A. I. Zenchuk, P. M. Santini. – arXiv:0801.3945
18. Santini, P. M. Integrable nonlinear evolution equations with constraints: I / P. M. Santini // Inverse Problems. – 1992. – Vol. 8, № 2. – P. 285–301.
19. Свинолупов, С. И. Векторно-матричные обобщения классических интегрируемых уравнений / С. И. Свинолупов В. В. Соколов // Теоретическая и математическая физика. – 1994. – Т. 100, № 2. – С. 214–218.
20. Старцев, С. Я. О дифференциальных подстановках типа преобразования Миуры / С. Я. Старцев // Теоретическая и математическая физика. – 1998. – Vol. 116, № 3. – С. 336–348.
21. Журавлев, В. М. Нелинейные уравнения, связанные с уравнениями теплопроводности и д'Аламбера с помощью подстановок типа Коула – Хопфа / В. М. Журавлев, А. В. Никитин // Нелинейный мир. – 2007. – Т. 5, № 9. – С. 603–611.
22. Журавлев, В. М. Метод обобщенных подстановок Коула – Хопфа и новые
примеры линеаризуемых нелинейных эволюционных уравнений / В. М. Журавлев //
Теоретическая и математическая физика. – 2009. – Т. 159, № 1. – С. 58–71
23. Журавлев, В. М. Матричные функциональные подстановки для интегрируемых динамических систем и уравнения Ландау – Лифшица / В. М. Журавлев // Нелинейная динамика. – 2014. – Т. 10, № 1. – С. 35–48.
24. Журавлев, В. М. Об интегрируемом нелинейном уравнении Дирака в размерности 1+3 / В. М. Журавлев // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. – 2018. – № 3. – C. 19–30.
25. Журавлев, В. М. Солитонные решения уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера и функциональные подстановки / В. М. Журавлев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – № 1. – С. 147–163.
26. Журавлев, В. М. Нелинейные волны в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией / В. М. Журавлев. – Ульяновск : Изд-во УлГУ, 2002. – 200 c.